EditorialPrograma Editorial Universidad del Valle
PaísColombia

Tópicos de álgebra lineal

- Autor: Miguel Angel Marmolejo Lasprilla
- Autor: Manuel Maria Villegas Lerma

Descripción›

El texto comienza presentando la estructura de espacio vectorial. Este hecho es motivado porque entendemos que hay que dar un tratamiento acompasado de los temas nucleares de este tópico, como lo son combinaciones lineales, dependencia e independencia lineal, base y dimensión. A partir de un recorte adecuado de estos conceptos, se construyen otras ideas centrales, como lo son la de coordenadas y cambio de base. La estructura de espacio vectorial se ve enriquecida con nociones métricas cuando se lo dota con un producto interno. Al desarrollar el tema de transformaciones lineales, se hace particular énfasis en el tratamiento de la matriz asociada a una transformación lineal, y en cómo se puede recuperar toda la información referente a núcleo e imagen a partir de dicha matriz. Hay un tratamiento breve de las transformaciones ortogonales haciendo nexo con la estructura de espacio con producto interno y recuperando elementos geométricos. La noción de determinante ha sido abordada en forma sucinta, y está pensada como herramienta para aplicar al problema de valores propios. Al abordar el problema de vectores y valores propios, se puede apreciar todo el potencial que tienen las ideas construidas. La diagonalización de matrices es presentada en su forma más elemental, pero introduciendo conceptos que sirven para una profundización en este tópico. El grado de abstracción para aproximarse a la idea de espacio dual puede resultar un poco arduo al principio, pero rinde su fruto al hacer el tratamiento de coordenadas y soluciones de sistema de ecuaciones. Invariantes bajo semejanza de matrices nos pareció un corolario adecuado para cerrar este material y dar una noción de la potencia de las ideas tratadas

Tipo de Contenido›

CONTENIDO

CAPÍTULO 1.

Preliminares 1.1 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Inversa de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.2 Transpuesta de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.3 Determinante de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.4 Operaciones y matrices elementales . . . . . . . . . . . . 8

1.2 Espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.1 Bases y dimensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.2 Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.3 Producto interno. Bases ortonormales. Proyección ortogonal 16

1.2.4 Producto cruz, rectas, hiperplanos y conjuntos convexos . . 18

1.3 Transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.3.1 Matriz de una transformación lineal . . . . . . . . . . . . . 27

1.3.2 Álgebradetransformacioneslineales.Inversadeunatransformación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.3.3 Matrices semejantes. Cambio de base . . . . . . . . . . . . 28

1.4 Espacios fundamentales de una matriz. Rango de una matriz. Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . 29

CAPÍTULO 2.

Matrices particionadas. Traza de una matriz 2.1 Operaciones con matrices particionadas . . . . . . . . . . . . . . 33

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.2 Determinantes e inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.3 Traza de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.4 Anexo: Determinantes y permutaciones. Fórmula de Binet-Cauchy 53

CAPÍTULO 3.

Valores propios y vectores propios. Diagonalización 3.1 Valores propios y vectores propios . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.2 Diagonalización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.3 Diagonalización de matrices simétricas . . . . . . . . . . . . . . 85

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

3.4 Diagonalización simultánea de matrices simétricas . . . . . . . . 105

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

3.5 Anexo: Forma de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

CAPÍTULO 4.

Formas cuadráticas 4.1 Deﬁnición y clasiﬁcación de las formas cuadráticas . . . . . . . 125

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

4.2 Cambio de variables. Diagonalización de formas cuadráticas . . . 130

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

4.3 Formas cuadráticas positivas, negativas e indeﬁnidas . . . . . . . 140

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

4.4 Aplicaciones de las formas cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . 149

4.5 Anexo: Matrices no negativas. Matrices idempotentes . . . . . . 156

4.5.1 Matrices no negativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

4.5.2 Matrices idempotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

CAPÍTULO 5.

Inversa generalizada e inversa condicional de matrices 5.1 Inversa generalizada o g-inversa de una matriz . . . . . . . . . . 169

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

5.2 Cálculo de la g-inversa de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . 179

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

5.3 Inversa condicional o c-inversa de una matriz . . . . . . . . . . . 186

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

5.4 Sistemas de ecuaciones lineales: g-inversa y c-inversa de una matriz. Mínimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

Ejercicios II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

CAPÍTULO 6.

Factorización de matrices 6.1 Descomposición LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

6.2 Descomposición de Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

6.3 Descomposición QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

6.4 Descomposición en valores singulares (SVD) . . . . . . . . . . . 238

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

Apéndice A A.1 Cálculo de integrales relacionadas con la distribución normal . . 247

Apéndice B B.1 Funciones matriciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

Índice alfabético. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

Bibliografía III. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

Clasificación temática›

Palabras clave›

Álgebra lineal
Matrices (Matemáticas)
Espacios vectoriales
Transformaciones lineales
Vectores
Formas cuadráticas
Factorización (Álgebra)

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