Teoría de la elasticidad usando Matlab y Maxima

Prefacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi

1 Conceptos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1 ¿Qué es la mecánica de sólidos? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 ¿Qué es un sólido? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Propiedades del sólido elástico isótropo . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Diferenciales de primer, segundo y tercer orden . . . . . . . . . . . . . 5

1.5 Fuerzas que actúan sobre un sólido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.6 Preguntas de control de lectura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Estudio de los esfuerzos en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1 Tensiones o esfuerzos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Estudio de las tensiones en un punto bidimensional . . . . . . . . . . 12

2.2.1 Análisis de un elemento infinitesimal rectangular . . . . . . . . . . . . 12

2.2.2 Análisis de un elemento infinitesimal triangular . . . . . . . . . . . . . 13

2.3 Estudio de las tensiones en un punto tridimensional . . . . . . . . . . 15

2.3.1 Análisis de un paralelepípedo infinitesimal . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3.2 Análisis de un elemento tetraédrico infinitesimal . . . . . . . . . . . . 17

2.4 Notación indicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.5 Cambio de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.6 Matriz de esfuerzos expresada en otro sistema de coordenadas . . . . 26

2.6.1 Caracterización de la matriz de tensiones en el caso tridimensional . 28

2.6.2 Particularización de la matriz de tensiones al caso bidimensional . . 30

2.7 Esfuerzos normales y tangenciales sobre un plano . . . . . . . . . . . 33

2.8 Esfuerzos y direcciones principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.8.1 Tensiones y direcciones principales en dos dimensiones . . . . . . . . 38

2.8.2 Tensiones y direcciones principales en tres dimensiones . . . . . . . . 42

2.8.3 Método de Newton-Raphson para encontrar las raíces del polinomio

característico de la matriz de tensiones utilizando una calculadora

científica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.8.4 Ortogonalidad de las direcciones principales . . . . . . . . . . . . . . 53

2.9 Círculo de Mohr en problemas bi- y tridimensionales . . . . . . . . . 54

v

2.9.1 Círculo de Mohr en dos dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.9.2 Gráfica e interpretación del círculo de Mohr en dos dimensiones . . 59

2.9.3 La función atan2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.9.4 Círculo de Mohr en tres dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.10 La analogía del bombillo y la caja y el concepto de tensor . . . . . . . 78

2.11 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

2.12 Preguntas de control de lectura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3 Estudio de los desplazamientos y las pequeñas deformaciones . . . . . . . . 87

3.1 Campo vectorial de desplazamientos de un sólido . . . . . . . . . . . 88

3.2 Componentes de la deformación en un punto . . . . . . . . . . . . . . 89

3.2.1 Deformación lineal (o deformación longitudinal) . . . . . . . . . . . . 92

3.2.2 Deformación angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

3.3 Las galgas extensométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3.4 Especificación de la deformación en otras direcciones . . . . . . . . . 98

3.5 Rotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

3.6 Deformaciones principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

3.6.1 Expresión de las deformaciones principales en el caso bidimensional

utilizando maximización y minimización de funciones . . . . . . . . 117

3.6.2 Expresión de las deformaciones principales utilizando valores y vec-

tores propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

3.7 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

3.8 Preguntas de control de lectura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

4 Relaciones entre los esfuerzos y las deformaciones . . . . . . . . . . . . . . . 127

4.1 Materiales frágiles y materiales dúctiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

4.2 Comportamiento elástico y plástico de los materiales dúctiles . . . . 128

4.3 La ley de Hooke y los módulos de Young y Poisson . . . . . . . . . . . 132

4.3.1 Deformación de un sólido sometido a esfuerzos normales en las di-

recciones x, y y z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

4.3.2 Deformación de un sólido sometido a esfuerzos tangenciales . . . . . 137

4.3.3 Ley de Hooke generalizada para materiales isótropos . . . . . . . . . . 141

4.3.4 Ley de Hooke generalizada para materiales anisótropos . . . . . . . . 143

4.3.5 Ley de Hooke generalizada para materiales ortótropos . . . . . . . . . 146

4.4 Relación entre las direcciones principales asociadas a los esfuerzos y

a las deformaciones para materiales isótropos u ortótropos . . . . . . 150

4.5 Cambios de volumen y la dilatación cúbica . . . . . . . . . . . . . . . 151

4.6 Entendiendo el cambio de volumen de un sólido mediante el teorema

de la divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

4.7 Módulo de expansión volumétrica o módulo de compresibilidad . . . 155

4.8 Particularización de tres a dos dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . 156

4.8.1 Tensión plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

4.8.2 Deformación plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

vi

4.8.3 Relación entre los esfuerzos principales obtenidos en el análisis bidi-

mensional y tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

4.9 Interpretación de los gráficos de colores de esfuerzos y deformaciones 166

4.9.1 Interpretación de los gráficos de esfuerzos σx , σy y τx y . . . . . . . . . 168

4.9.2 Interpretación de los gráficos de las deformaciones εx , εy

, εz y γx y . . 170

4.9.3 Interpretación de los gráficos de los esfuerzos principales y del esfuer-

zo cortante máximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

4.9.4 Relación de los diagramas de colores de una viga con sus diagramas

de fuerza cortante y momento flector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

4.9.5 Disposición de los flejes si la viga estuviera hecha con concreto refor-

zado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

4.9.6 Código de Matlab empleado para generar las figuras . . . . . . . . . . 178

4.10 Modificación de la ley de Hooke para tener en cuenta los efectos tér-

micos en el caso de materiales isótropos . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

4.10.1 Deformaciones térmicas en el caso de tensión plana . . . . . . . . . . 182

4.10.2 Deformaciones térmicas en el caso de deformación plana . . . . . . . 183

4.11 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

4.12 Preguntas de control de lectura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

5 Ecuaciones diferenciales fundamentales de la teoría de la elasticidad . . . . 193

5.1 Ecuaciones diferenciales de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

5.2 Ecuaciones de compatibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

5.2.1 Ecuaciones de compatibilidad en dos dimensiones expresadas en tér-

minos de deformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

5.2.2 Ecuaciones de compatibilidad en tres dimensiones expresadas en tér-

minos de deformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

5.2.3 Ecuación de compatibilidad para el caso de tensión plana expresada

en términos de esfuerzos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

5.2.4 Ecuación de compatibilidad para el caso de deformación plana expre-

sada en términos de esfuerzos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

5.2.5 Ecuación de compatibilidad general para el caso bidimensional expre-

sada en términos de esfuerzos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

5.2.6 Ecuaciones de compatibilidad en tres dimensiones expresadas en tér-

minos de esfuerzos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

5.2.7 Interpretación física de las ecuaciones de compatibilidad . . . . . . . 206

5.3 Condiciones de frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

5.4 Condiciones de equilibrio en la frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

5.4.1 Análisis en dos dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

5.4.2 Análisis en tres dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

5.4.3 Nota sobre la nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

5.5 Equilibrio estático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

5.5.1 Ecuaciones integrales de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

vii

5.5.2 Un enfoque alternativo para deducir las ecuaciones diferenciales par-

ciales de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

5.6 Cálculo de los desplazamientos a partir de las deformaciones . . . . . 219

5.7 Función de tensión de Airy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

5.8 Ecuaciones diferenciales parciales de Cauchy-Navier . . . . . . . . . . 228

5.8.1 Condiciones de frontera asociadas a las ecuaciones de Cauchy-Navier 230

5.8.2 Particularización de las ecuaciones de Cauchy-Navier al caso bidi-

mensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

5.9 Unicidad de la solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

5.10 Principio de superposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

5.11 Principio de Saint-Venant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

5.12 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

5.13 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

5.14 Preguntas de control de lectura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

6 Formulación de la teoría de la elasticidad en coordenadas cilíndricas . . . 247

6.1 El sistema de coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

6.1.1 Una nota sobre el uso de las funciones de Maxima “depends” y “gradef ” 250

6.1.2 Demostración de las ecuaciones (6.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

6.1.3 Una nota sobre el término 1

r

∂

∂θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

6.2 El sistema de coordenadas cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

6.3 El gradiente, el laplaciano, la divergencia y el rotacional . . . . . . . . 255

6.3.1 El gradiente en coordenadas cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

6.3.2 El laplaciano en coordenadas cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

6.3.3 La divergencia en coordenadas cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . . 258

6.3.4 El rotacional en coordenadas cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

6.4 Componentes del esfuerzo en coordenadas cilíndricas . . . . . . . . . 263

6.5 Ecuaciones diferenciales de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

6.5.1 Particularizaciones de las ecuaciones de equilibrio en coordenadas

cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

6.5.2 Deducción alternativa de las ecuaciones diferenciales de equilibrio en

coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

6.6 Componentes de la deformación en coordenadas polares . . . . . . . 274

6.6.1 Método geométrico para el cálculo de las componentes de la deforma-

ción en coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

6.6.2 Método algebraico para el cálculo de las componentes de la deforma-

ción en coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

6.7 Componentes de la deformación en coordenadas cilíndricas . . . . . 283

6.8 Desplazamiento y deformación en el caso de simetría axial . . . . . . 286

6.9 Ley de Hooke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

6.10 Ecuaciones diferenciales de compatibilidad . . . . . . . . . . . . . . . 290

6.10.1 Ecuaciones diferenciales de compatibilidad tridimensionales . . . . . 291

6.10.2 Ecuaciones diferenciales de compatibilidad bidimensionales . . . . . 294

viii

6.11 Ecuaciones diferenciales parciales de Cauchy-Navier . . . . . . . . . . 297

6.12 Funciones de tensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

6.12.1 Función de tensión de Airy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

6.12.2 Función de tensión de Love . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

6.13 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

6.13.1 Cálculo de los discos y arandelas de sección constante sujetos a un

estado de tensiones axisimétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

6.13.2 El problema de Kirsch: concentración de esfuerzos alrededor de hue-

cos circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

6.13.3 El problema de Flamant: cargas distribuidas lineales en medios semin-

finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

6.13.4 Cargas distribuidas uniformes en medios seminfinitos . . . . . . . . . 338

6.13.5 El ensayo brasilero o de tracción indirecta . . . . . . . . . . . . . . . . 346

6.13.6 El problema de Boussinesq: cargas puntuales en medios seminfinitos 352

6.14 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

6.15 Preguntas de control de lectura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

A Suplemento matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

A.1 Identidades trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

A.2 Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364

A.3 Función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364

A.3.1 Función continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364

A.4 Campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

A.5 Notación tensorial de Voigt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

A.6 Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366

A.7 Expansión en series de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367

A.7.1 Expansión en series de Taylor en una variable . . . . . . . . . . . . . . 367

A.7.2 Expansión en series de Taylor en varias variables . . . . . . . . . . . . 368

A.7.3 Aproximación de ángulos pequeños . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

A.8 Optimización de una función sujeta a una restricción de igualdad . . 369

A.9 Ecuaciones paramétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370

A.10 Divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372

A.11 El teorema de la divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373

A.12 Producto cruz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374

A.13 Regla de la mano derecha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374

A.14 Rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375

A.15 Espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376

A.15.1 Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376

A.15.2 Dependencia lineal, independencia lineal y combinación lineal . . . 378

A.15.3 Espacio normado y norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378

A.15.4 Espacio prehilbertiano y producto punto . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

A.16 Algunos conceptos de álgebra lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380

A.16.1 Valores y vectores propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380

ix

A.16.2 Polinomio característico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380

A.16.3 Cosenos directores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381

A.16.4 Proyección de un vector sobre otro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382

B El sistema de álgebra computacional Maxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383

C El lenguaje de programación Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385

Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388

Índice temático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389

Sobre el autor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393