1 Introducción a las edps 4
1.1 Terminología y notación 4
1.2 Clasificación de las edps 6
1.3 Condiciones auxiliares 7
1.4 Problemas de valores en la frontera (PVF) 9
1.5 Solución de PVFs 10
1.5.1 Soluciones exactas 10
1.5.2 Solución numérica 11
2 Algunas ecuaciones diferenciales parciales importantes 19
2.1 Introducción 19
2.2 La Ecuación de Laplace para el campo gravitacional 20
2.3 La Ecuación de Poisson para el campo gravitacional 25
2.4 La ecuación de los campos electrostáticos 27
2.5 Las ecuaciones de la hidrodinámica y de la acústica 29
2.5.1 La ecuación de continuidad 29
2.5.2 Ecuación de Euler 32
2.5.3 Ecuación de la propagación del sonido en un gas 34
2.6 Vibraciones transversales de un cable. La ecuación de onda 40
2.7 Las Ecuaciones de Maxwell y la ecuación de la onda del campo electromagnético 45
2.7.1 Las Ecuaciones de Maxwell 45
2.7.2 La ecuación de la onda del campo electromagnético 48
2.8 La ecuación de conducción del calor 50
2.8.1 Introducción 50
2.8.2 Deducción de la ecuación de conducción del calor 54
2.8.3 Condiciones de frontera 60
2.9 La ecuación de difusión 64
3 Diferencias finitas 67
3.1 Operadores simbólicos 67
3.2 Diferencias regresivas 70
3.2.1 Definiciones preliminares. El operador ∇ 70
3.2.2 Relaciones entre los operadores ∇ y D 72
3.3 Diferencias progresivas 73
3.3.1 Definiciones preliminares. El operador ∆ 73
3.3.2 Relaciones entre los operadores ∆ y D 75
3.4 Diferencias centrales 77
3.4.1 Definiciones preliminares. El operador δ 77
3.4.2 Diferencias promediadas. El operador µ 79
3.4.3 Relaciones entre µδ, δ y D 80
3.4.4 Relaciones entre D y los operadores µδ y δ 82
4 Cálculo de derivadas ordinarias mediante diferencias finitas 84
4.1 Derivadas y diferencias finitas regresivas 84
4.1.1 Primera derivada 84
4.1.2 Segunda derivada 87
4.2 Derivadas y diferencias finitas progresivas 89
4.2.1 Primera derivada 89
4.2.2 Segunda derivada 91
4.3 Derivadas y diferencias centrales 93
4.3.1 Primera derivada 93
4.3.2 Segunda derivada 95
5 Cálculo de derivadas parciales mediante diferencias finitas 97
5.1 Introducción 97
5.2 Derivadas parciales y diferencias finitas 99
6 Métodos de solución de sistemas de ecuaciones lineales 104
6.1 Introducción 104
6.2 Algunos métodos directos 105
6.2.1 Sistemas triangulares inferiores 106
6.2.2 Sistemas triangulares superiores 109
6.2.3 Factorización LU 111
6.2.4 Sistemas tridiagonales 123
6.3 Algunos métodos iterativos clásicos 129
6.3.1 Introducción 129
6.3.2 Método de Jacobi 131
6.3.3 Método de Gauss-Seidel 133
6.3.4 Método de sobrerrelajación 133
6.3.5 Precisión y convergencia de los métodos iterativos 135
6.4 Programas Matlab 138
6.4.1 Programa para la iteración de Jacobi 138
6.4.2 Programa Gauss-Seidel 141
6.4.3 Programa SOR 144
7 Solución de ecuaciones elípticas mediante diferencias finitas 147
7.1 Las ecuaciones de Laplace y de Poisson 147
7.2 Condiciones Newman y Robbins 168
7.3 Consistencia, orden y convergencia de las ecuaciones en diferencias finitas 188
7.3.1 Consistencia 188
7.3.2 Orden 189
7.3.3 Convergencia 190
8 Solución de ecuaciones parabólicas mediante diferencias finitas 191
8.1 Introducción 191
8.2 Métodos explícitos 192
8.2.1 Ecuación parabólica unidimensional 192
8.2.2 Ecuación parabólica bidimensional 200
8.2.3 Condiciones de frontera 201
8.3 Métodos implícitos 201
9 Solución de ecuaciones hiperbólicas mediante diferencias finitas 226
9.1 La ecuación de la onda unidimensional 226
9.1.1 Introducción 226
9.1.2 Modelo de diferencias finitas 227
9.2 La ecuación de ondas bidimensional 236
9.2.1 Introducción 236
9.2.2 Modelo de diferencias finitas 237
10 El método de las líneas 245
10.1 La ecuación del calor unidimensional 245
10.2 La ecuación del calor bidimensional 259
11 Flujo compresible unidimensional en estado transitorio 270
11.1 Introducción 270
11.2 Ecuaciones diferenciales para flujo compresible en estado no estacionario 273
11.3 Solución diferencias finitas 279
11.3.1 Estabilidad 279
11.3.2 Procedimiento de solución 280
