Notas sobre álgebra lineal

Preliminares .................................................................................. 7
 1.1 Cuerpos .................................................................................... 7
  1.1.1 Algunos ejemplos de cuerpos ............................................. 8
  1.1.2 Teorema fundamental de la aritmética ............................. 9
 1.2 Relaciones de equivalencia ...................................................... 14
 1.3 Ejercicios .................................................................................. 18

Espacios vectoriales .................................................................. 21
 2.1 Ejemplos .................................................................................. 22
 2.2 Subespacios vectoriales .......................................................... 24
 2.3 Intersección y suma de subespacios ...................................... 27
 2.4 Ejercicios .................................................................................. 28

Bases y dimensión ..................................................................... 31
 3.1 Dependencia e independencia lineal .................................... 31
 3.2 Sistemas de ecuaciones lineales ........................................... 36
  3.2.1 Operaciones fila elementales ............................................ 36
 3.3 Bases para espacios vectoriales ............................................ 47
  3.3.1 Órdenes parciales, órdenes totales y el lema de Zorn ..... 51
 3.4 Dimensión de un espacio vectorial ....................................... 54
  3.4.1 Dimensión de subespacios vectoriales ............................... 59
  3.4.2 Dimensión de una suma de espacios vectoriales ............. 60
 3.5 Suma directa de subespacios vectoriales ............................... 63
 3.6 Espacios vectoriales con producto interno ............................ 66
  3.6.1 Vectores en ℝⁿ .................................................................... 68
  3.6.2 Producto interno entre vectores de ℝⁿ .............................. 73
  3.6.3 Proyección ortogonal y el teorema de Pitágoras ............. 76
  3.6.4 Complemento ortogonal y proceso de Gram-Schmidt .... 84
 3.7 Ejercicios .................................................................................. 91

Matrices, bases ordenadas y transformaciones lineales ........ 97
 4.1 Matrices .................................................................................... 97
 4.2 Función determinante ............................................................ 102
  4.2.1 Permutaciones .................................................................. 106
  4.2.2 Eliminación de Gauss-Jordan ......................................... 114
 4.3 Bases ordenadas ..................................................................... 122
  4.3.1 Coordenadas ...................................................................... 123
  4.3.2 Matrices de cambio de base ............................................ 124
 4.4 Transformaciones lineales ..................................................... 129
  4.4.1 Kernel e imagen de una transformación lineal ............... 132
  4.4.2 Operaciones entre transformaciones lineales .................. 137
  4.4.3 Matriz asociada a una transformación lineal ................. 138
 4.5 Valores y vectores propios ..................................................... 146
  4.5.1 Valores propios .................................................................. 147
  4.5.2 Vectores propios ................................................................ 148
  4.5.3 Diagonalización .................................................................. 152
 4.6 Ejercicios .................................................................................. 158

Espacio cociente y espacio dual .............................................. 163
 5.1 Espacio cociente ....................................................................... 163
 5.2 Espacio dual ............................................................................. 169
 5.3 Ejercicios .................................................................................. 173

Sugerencias a los ejercicios ..................................................... 177