Matemáticas especiales para ingenieros

1. El álgebra de los números complejos                                            7
1.1. Conocimientos previos sobre números reales . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. Operaciones entre números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3. Representación gráfica y forma polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4. Ecuaciones algebraicas y desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2. Funciones en el plano complejo                                                                   31
2.1. Conocimientos previos sobre funciones en el campo de los reales . . . 31
2.2. Funciones sobre la recta real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3. Funciones en el plano complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4. Funciones univaluadas y multivaluadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.5. Derivación de funciones complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.6. Integración sobre el plano complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.6.1. Integrales sobre caminos abiertos . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.6.2. Integrales a lo largo de caminos cerrados . . . . . . . . . . . . 46
2.7. Integrales de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.7.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.7.2. La integral de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3. Series de potencia                                                                           63
3.1. Conceptos previos sobre series de potencia . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2. Secuencias o sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3. Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.3.1. Definición y notacion de suma . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.3.2. Definición de una serie de potencia . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.3.3. La serie geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.3.4. La serie binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.4. La serie de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.5. Series de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4. El teorema del residuo                                                             95
4.1. Conceptos previos sobre residuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.2. Residuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.3. El teorema del residuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.4. Aplicaciones del teorema del residuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.4.1. Integrales de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.4.2. Integrales con término de la forma e^iax . . . . . . . . . . . . . 105
4.4.3. Valor principal de una funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.4.4. Integral trigonometrica sobre crculo unitario . . . . . . . . . 111
4.4.5. Integrales de funciones multivaluadas . . . . . . . . . . . . . 113
4.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5. Series de Fourier                                                                           123
5.1. Conceptos previos sobre series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.2. Introducción a las series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.2.1. Funciones pares e impares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.2.2. Relaciones de ortogonalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.2.3. Función periodica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.3. Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.3.1. Descomposición como senos y cosenos . . . . . . . . . . . . . 131
5.3.2. Descomposición como exponenciales complejas . . . . . . . . 133
5.4. Propiedades de las series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.4.1. Relaciones entre los coeficientes . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.4.2. Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.4.3. Relación de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

6. Funciones especiales y el teorema de convolución   157
6.1. Conceptos previos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
6.2. Funciones especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
6.2.1. Función valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
6.2.2. La función Delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
6.2.3. La función escalon unitario o Heaviside . . . . . . . . . . . . 165
6.2.4. La función gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6.2.5. La función Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
6.3. La convolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6.4. Funciones de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
6.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

7. La transformada de Laplace                                         183
7.1. Conceptos previos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
7.2. La transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
7.3. Propiedades de la transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . 186
7.4. Inversión de la transformada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.4.1. Método por inspección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.4.2. La integral de Bromwich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
7.5. Solución de ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
7.6. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
7.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

8. La transformada de Fourier                                          217
8.1. Conceptos previos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
8.2. Definición de la transformada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
8.3. Propiedades de la transformada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
8.4. La relación de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
8.5. Solución a ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
8.6. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
8.6.1. Solución a funciones de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
8.6.2. Funciones de transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
8.6.3. Procesamiento de señales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
8.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234