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Presentación 11
1 Límites y continuidad de una función 13
1.1 Límites de una función en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2 Ejercicios A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.3 Límites laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.4 Algunos resultados sobre Límites . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.5 Cálculo de Límites de la forma 0=0 . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.5.1 Límites que se resuelven por factorización . . . . . . . . 43
1.5.2 Límites que se resuelven por racionalización . . . . . . . 44
1.5.3 Límites que se resuelven por cambio de variable . . . . . 46
1.5.4 Límites con valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.5.5 Límites trigonométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.6 Límites infinitos y límites al infinito . . . . . . . . . . . . . . . 56
1.6.1 Límites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
1.6.2 Cálculo de límites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . 64
1.6.3 Límites al infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
1.6.4 Límites infinitos al infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
1.6.5 Cálculo de límites al infinito . . . . . . . . . . . . . . . . 78
1.6.6 Límites que involucran funciones exponenciales y logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
1.7 Ejercicios B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7
8 Contenido
1.8 Ejercicios C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
1.9 Continuidad de una función en un punto . . . . . . . . . . . . . 98
1.9.1 Resultados sobre continuidad . . . . . . . . . . . . . . . 101
1.10 Ejercicios D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
2 Derivadas 111
2.1 Derivada de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
2.1.1 Problema de la recta tangente . . . . . . . . . . . . . . . 113
2.1.2 Definición de derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
2.1.3 Consideraciones sobre la derivabilidad en un punto . . . 124
2.2 Reglas de derivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
2.2.1 Derivadas de funciones trigonométricas . . . . . . . . . 135
2.2.2 Derivadas de funciones logarítmicas . . . . . . . . . . . 137
2.2.3 Derivadas de funciones exponenciales . . . . . . . . . . . 138
2.3 Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
2.4 Derivada de la función inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
2.4.1 Derivadas de las funciones trigonométricas inversas . . . 148
2.5 Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
2.6 Derivaci on logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
2.7 Derivaci on implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
2.8 Ejercicios E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
3 Aplicaciones de la derivada 171
3.1 La regla de L'^oopital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
3.1.1 Aplicación directa de la Regla de L'H^opital . . . . . . . 176
3.1.2 Límites con la forma indeterminada 0 1 . . . . . . . 178
3.1.3 Límites con la forma indeterminada 11 o 1+1 180
3.1.4 L mites con la forma indeterminada 11; 10 o 00 . . . . 182
3.1.5 Ejercicios F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
3.2 Teorema de Rolle y teorema del valor medio . . . . . . . . . . . 189
3.2.1 Ejercicios G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
3.3 Gra caci on de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
3.3.1 Extremos relativos y absolutos . . . . . . . . . . . . . . 194
3.3.2 Extremos de una funci on en un intervalo cerrado . . . . 199
3.3.3 Primera derivada y monoton a de una funci on . . . . . . 202
3.3.4 Segunda derivada y concavidad de una funci on . . . . . 207
3.3.5 As ntotas a la gr a ca de una funci on . . . . . . . . . . . 215
3.3.6 Construcci on de gr a cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
3.3.7 Ejercicios H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
Contenido 9
3.4 Problemas de optimizaci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
3.4.1 Ejercicios I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
3.5 Diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
3.5.1 El diferencial y la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . 250
3.5.2 Interpretaci on geom etrica del diferencial en IR . . . . . . 251
3.6 La derivada como raz on de cambio . . . . . . . . . . . . . . . . 254
3.6.1 Ejercicios J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
4 Integraci on inde nida 269
4.1 Integral inde nida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
4.2 Propiedades de la integral inde nida . . . . . . . . . . . . . . . 274
4.3 Integraci on b asica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
4.4 T ecnicas y estrategias de integraci on . . . . . . . . . . . . . . . 280
4.4.1 Integraci on por sustituci on . . . . . . . . . . . . . . . . 281
4.4.2 Integraci on por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
4.4.3 Divisi on polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
4.4.4 Fracciones parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
4.4.5 Sustituciones especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
4.4.6 Integraci on trigonom etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
4.5 Ejercicios K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
5 Integraci on de nida 347
5.1 La notaci on sigma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
5.2 Concepto intuitivo de partici on . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
5.3 Integral de nida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
5.3.1 An alisis con los extremos izquierdos . . . . . . . . . . . 360
5.3.2 An alisis con los extremos derechos . . . . . . . . . . . . 362
5.3.3 Las sumas de Riemman en general . . . . . . . . . . . . 364
5.4 Propiedades de la integral de nida . . . . . . . . . . . . . . . . 370
5.5 Teorema fundamental del c alculo (TFC) . . . . . . . . . . . . . 373
5.6 Aplicaciones de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
5.6.1 C alculo de areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
5.6.2 Longitud de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
5.7 Ejercicios L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
A Integrales impropias 407
A.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
A.2 Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
10 Contenido
A.2.1 Interpretaci on geom etrica de la integral impropia . . . . 425
A.3 Ejercicios M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
B Soluciones de los ejercicios propuestos 433
B.1 Ejercicios A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
B.2 Ejercicios B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
B.3 Ejercicios C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
B.4 Ejercicios D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
B.5 Ejercicios E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
B.6 Ejercicios F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443
B.7 Ejercicios G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
B.8 Ejercicios H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
B.9 Ejercicios I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
B.10 Ejercicios J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448
B.11 Ejercicios K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
B.12 Ejercicios L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457
B.13 Ejercicios M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462
Bibliograf a 465
Indice alfab etico 467
F ormulas y resultados 472
Esta obra está dirigida principalmente a estudiantes universitarios. En ella se desarrollan los postulados clásicos del cálculo diferencial e integral desde un punto de vista teórico y práctico.
Representa un esfuerzo equilibrado en la forma de exponer la teoría, pues se detalla en los aspectos teóricos que fortalecen el pensamiento lógico y formal del estudiante de acuerdo con las necesidades específicas de la población meta, sin dejar de lado la parte práctica del cálculo.
Además, ofrece un nivel adecuado para ser utilizado como obra de consulta o referencia en cualquier curso de cálculo elemental, particularmente en los tópicos referentes al cálculo diferencial, que son parte básica de la formación profesional de las carreras de ingeniería.
Doctora en Intervención Educativa por la Universidad de Valencia, España. Máster en Matemática Educativa por el Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional de México.
Bachiller en Enseñanza de la Matemática Asistida por Computadora, por el Tecnológico de Costa Rica.
Actualmente es profesora catedrática, investigadora y extensionista de la Escuela de Matemática del Tecnológico de Costa Rica y coordinadora del Comité Examen de Admisión del Tecnológico de Costa Rica.
Enfocada en proyectos de investigación relacionados con emociones y actitudes hacia la matemática, y en proyectos de extensión relacionados con la actualización y capacitación docente.