Introducción A Los Procesos Estocásticos

CONTENIDO

Lista de abreviaturas                     xi

Introducción                      xiii

Capítulo 1

Procesos estocásticos                   1

                1.1 Definición de proceso estocástico                    1

                1.2 Caracterización de un proceso estocástico                   7

                1.3 ¿Qué se estudia en un proceso estocástico?                8

Capítulo 2

Cadenas de Markov de tiempo discreto                                10

                2.1 Definición de cadena de Markov de tiempo discreto                                               11

                                2.1.1 Propiedad markoviana                       11

                                2.1.2 Matriz de transición                            11

                2.2 Modelos discretos famosos                16

                                2.2.1 Camino aleatorio simple                   17

                                2.2.2 Modelo del apostador                       19

                                2.2.3 Proceso de ramificación                    22

                                2.2.4 Las urnas de Ehrenfest                      30

                2.3 Descomposición de la cadena                            32

                                2.3.1 Ecuaciones de Chapman-Kolmogorov                        32

                                2.3.2 Distribución inicial                               34

                2.4 Clasificación de los estados de una cadena de Markov                           37

                                2.4.1 Estados recurrentes y transitorios                                39

                                2.4.2 Periodicidad de la cadena                44

                                2.4.3 Estados recurrentes                           45

                2.5 Comportamiento en el límite                              48

                                2.5.1 Distribución invariante                      49

                                2.5.2 Teoremas límite                    53

                                2.5.3 Convergencia en cadenas irreducibles y aperiódicas                            54

                                2.5.4 Convergencia en cadenas periódicas e irreducibles                              56

                                2.5.5 Convergencia en cadenas no irreducibles                                 56

                Ejercicios prácticos                         57

                Ejercicios conceptuales                69

                Referencias complementarias                   71

Capítulo 3

Procesos de Poisson                      73

                3.1 Aproximación desde la distribución binomial                              73

                3.2 Definición de proceso de Poisson                     75

                3.3 Distribución de los tiempos entre llegadas                                   79

                3.4 Proceso de conteo                                   82

                3.5 Características de los procesos de Poisson                   90

                                3.5.1 Distribución del número de eventos                           90

                                3.5.2 Suma de procesos de Poisson independientes                       92

                                3.5.3 Distribución de tiempos de ocurrencia de eventos                                93

                                3.5.4 Clasificación de eventos en procesos de Poisson                    97

                                3.5.5 Notación en los sistemas de filas                   99

                Ejercicios prácticos                         101

                Ejercicios conceptuales                107

                Referencias complementarias                   108

Capítulo 4

Cadenas de Markov de tiempo continuo                              109

                4.1 Definición de cadena de Markov de tiempo continuo              109

                4.2 Ecuaciones de Kolmogorov                                 111

                               4.2.1 Ecuaciones de Kolmogorov hacia adelante y hacia atrás                     112

                                4.2.2 Probabilidades de estado estable                 118

                4.3 Proceso de nacimiento y muerte                      120

                                4.3.1 Ecuaciones de balance                       125

                                4.3.2 Proceso de nacimiento y muerte con finitos estados                           127

                                4.3.3 Aplicaciones en sistemas de filas                   127

                Ejercicios prácticos                         129

                Ejercicios conceptuales                133

                Referencias complementarias                   134

Anexos 135

A. Probabilidad de eventos                        136

                A.1 Espacio de probabilidad                       136

                A.2 Independencia de eventos                 138

                A.3 Ley de la probabilidad total y regla de Bayes                              139

B. Variables aleatorias                   141

                B.1 Función de distribución acumulada                 142

                B.2 Funciones de masa y de densidad de probabilidad                   142

                B.3 Distribución de funciones de una variable aleatoria                 146

                B.4 Valores esperados                  148

                B.5 Desigualdades importantes                151

C. Vectores aleatorios                   152

                C.1 Vector aleatorio bivariado                    152

                C.2 Variables aleatorias multivariadas                    160

D. Funciones generadoras           164

                D.1 Función generadora de momentos                 164

                D.2 Función generadora de probabilidad              165

E. Teoremas centrales en probabilidad                                  168

                E.1 Ley fuerte de los grandes números                  168

                E.2 Teorema del límite central                   168

Referencias bibliográficas                            171

Índice analítico                                 171