Introducción a las ecuaciones de la física matemática

Introducción     

1. Algunos modelos matemáticos de los procesos físicos     

1.1. Deducción de la ecuación de calor     
1.2. Deducción de la ecuación de onda     
1.3. El sentido físico de las condiciones de contorno     

2. El sentido físico de una función generalizada, definición de la función δ de Dirac. El espacio de las funciones básicas D y el espacio de las funciones generalizadas D'     

3. El problema de Cauchy para la ecuación de calor     

3.1. El espacio de Schwartz S. La transformada de Fourier para las funciones de S, L1  y L2
3.2. Solución del problema de Cauch y para la ecuación de transmisión de calor con las funciones iniciales de S     

4. El espacio de funciones generalizadas S'. La transformada de Fourier en S'. Teorema de convolución de dos funciones f(x) Є S, g(x) Є Cb     

5. Aplicación del teorema de convolución a la solución del problema de Cauchy para la ecuación de transmisión de calor     

5.1. Desarrollo del núcleo de Poisson     
5.2. Propiedades del núcleo de Poisson: G (t, x)  →δ(x)     

6. Otras propiedades de las soluciones de la ecuación de calor     

6.1. Solución del problema de Cauchy para la ecuación de transmisión de calor con una función inicial continua acotada     
6.2. El problema de Cauchy para la ecuación de transmisión de calor no homogénea. El principio de Duhamel     
6.3. Unicidad de la solución del problema de transmisión de calor y su dependencia continua de los datos iniciales     

7. El problema de Cauchy para la ecuación de onda     

7.1. La desigualdad energética y sus corolarios: la unicidad de la solución y su dependencia continua de los datos iniciales     
7.2. Solución del problema para los datos iniciales de S     

8. Algunos resultados de la teoría de las funciones generalizadas

8.1. La función δ concentrada en una esfera, su transformada de Fourier     
8.2. Teorema de la convolución de una función de S con una función generalizada de S' con soporte compacto     

9. Deducción de la fórmula de Kirchhoff para la solución del problema de Cauchy para la ecuación de onda en el caso de tres variables espaciales. Buena determinación del problema de Cauchy para la ecuación de onda     

10. El principio de Duhamel para la ecuación de onda no homogénea. La función de Green del problema de Cauchy para la ecuación de onda. Propiedades cualitativas de la propagación de ondas. Velocidad finita de la propagación de ondas

11. Primeros conceptos de los espacios de Sobolev     

11.1. Dos métodos diferentes de definir las soluciones generalizadas. Las derivadas generalizadas y sus propiedades básicas     
11.2. El espacio de Sobolev W ¹₂, su producto escalar y su completitud. Definición del espacio Wᶥ

12. Algunas propiedades de los espacios de Sobolev     

12.1. El espacio de Sobolev  W⅟2
12.2. Dos normas diferentes en el espacio W⅟2 (Ω). La desigualdad de Friedrichs
12.3. Las funciones medias y sus propiedades: suavidad infinita, convergencia en la norma de Lp1 conmutatividad de las operaciones de diferenciación y promediación

13. Los espacios W⅟2  y  ẘ⅟2  

13.1. Propiedades de contorno de las funciones de W⅟2  y  ẘ⅟2. Un sencillísimo teorema de inclusión: traza de u Є W⅟2  (Ω) en la frontera aΩ como elemento de L2 (aΩ)
13.2. La nulidad en promedio de las funciones de ẘ⅟2  (Ω) en la frontera aΩ. Integración por partes para las funciones de W⅟2  (Ω) y de ẘ⅟2 (Ω)     

14. Otras propiedades del espacio W⅟2  

14.1. La desigualdad de Poincaré     
14.2. Compacidad de inclusión de un conjunto acotado de W⅟2  (Ω) en L2 (Ω)     

15. Algunos problemas de contorno

15.1. La solución generalizada para el primer problema de contorno de la ecuación de Poisson     
15.2. El primer problema de contorno para ecuaciones más generales     
15.3. Un caso especial de operador diferencial de segundo or den
15.4. Tercer problema de contorno para la ecuación de Poisson
 
16. El método de Galerkin de solución aproximada generalizada del problema de Dirichlet para la ecuación de Poisson  
 
17 El método variacional de la solución generalizada para el problema de Dirichlet de la ecuación de Poisson. Propiedades de una sucesión minimizante    

18. Introducción a las soluciones singulares

18.1. Las soluciones fundamentales (singulares) generalizadas de las ecuaciones diferenciales     
18.2. La solución fundamental para el operador de Laplace     

19. Dos conceptos de elipticidad     

19.1. La clasificación de las ecuaciones en derivadas parciales
19.2. Los sistemas elípticos en el sentido de Petrovski y en el sentido de Douglis-Nirenberg     

20. Aplicación de las convoluciones para la teoría del potencial y los teoremas de inclusión de Sobolev     

Apéndice A     
A1. Los espacios Lp1 C∞
A2. Algunos teoremas básicos del análisis funcional, las desigualdades de Holder y Minkovski
A3. Los espacios de Hilbert, el concepto de un funcional  

Apéndice B     

B.1. Funciones generalizadas y sus derivadas

Bibliografía