Introducción a la teoría estadística del riesgo

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Prefacio

Lista de siglas

Capítulo uno: Preliminares

1. Espacio muestral y eventos aleatorios
2. Función de probabilidad y eventos independientes
3. Definiciones de probabilidad
   • Probabilidad clásica o ley de Laplace o a priori
   • Probabilidad empírica, frecuencial o a posteriori
   • Probabilidad axiomática o matemática de Kolmogorov
   • Probabilidad condicional
4. Regla de Bayes
5. Distribuciones de probabilidad
6. Valor esperado y varianza de una variable aleatoria
7. Momentos de una variable aleatoria
8. Función generadora de probabilidad
9. Función generadora de momentos
10. Distribución de probabilidad conjunta

• Función de distribución conjunta
• Valores esperados y momentos
• Valor esperado condicional
• Varianza condicional

11. Convolución de variables
12. Algunas distribuciones útiles

• Distribuciones de probabilidad
• Familia de distribuciones de Panjer
• Funciones de densidad de probabilidad
• Distribuciones de colas pesadas

13. Aproximación Cornish-Fisher
14. Desigualdades de probabilidad

• Desigualdad de Chebyshev
• Desigualdad de Bernstein
• Desigualdad de Jensen

15. Teoremas límites
16. Pruebas de bondad de ajuste

• Prueba chi-cuadrado
• Contraste de Kolmogorov-Smirnov
• Contraste de Anderson-Darling

Capítulo dos: Modelos de frecuencia

1. Modelos para el número de reclamos o pérdidas
   • Familia de distribuciones de Panjer
   • Estimación de los parámetros de la familia de Panjer
   • Distribución generalizada de Panjer
2. Mezclas de dos distribuciones de frecuencias
   • Modelos para conteos inflados con ceros
3. Distribución Poisson con parámetro aleatorio
4. Procesos de conteo para reclamos o pérdidas
   • Proceso Poisson homogéneo
   • Proceso Poisson mixto
5. Ejercicios

Capítulo tres: Distribución del reclamo total

1. Suma de variables aleatorias
   • Forma alternativa para establecer la pdf de S
2. Aproximación para la distribución de la suma
3. Suma aleatoria
4. Modelos compuestos para los reclamos totales
   • Distribuciones para el monto total de reclamos
5. Propiedades de la distribución Poisson compuesta
6. Método de recurrencia
7. Aproximación para la suma aleatoria
   • Distribución gamma trasladada
8. Proceso del reclamo total
   • Tiempo operacional
   • Distribuciones para el proceso del monto total de reclamos
9. Ejercicios

Capítulo cuatro: Modelos básicos de riesgo

1. Modelos para reclamos individuales
   • Función de distribución de X = IB
2. Método aproximado
3. Modelo de riesgo colectivo
4. Aproximación del modelo individual
5. Ejercicios

Capítulo cinco: Teoría de la utilidad y aversión al riesgo

1. Principios de utilidad
2. Supuestos básicos de la utilidad
3. Teoría de la utilidad
   • Utilidad esperada
4. La paradoja de San Petersburgo
5. Construcción de la función de utilidad
6. Medidas de aversión al riesgo
   • Desigualdad de Jensen
7. Clases de funciones de utilidad
   • Función de utilidad cuadrática
   • Función de utilidad exponencial
   • Función de utilidad potencial
8. El seguro y la utilidad
9. Principios para determinar la prima
   • Principio de equivalencia
   • Principio del valor esperado
   • Principio de la varianza
   • Principio de la desviación estándar
   • Principio de utilidad cero
   • Principio de Esscher
   • Principio exponencial
   • Principio percentil
   • Principio de la pérdida máxima
   • Principio del valor medio
   • Principio de la prima ajustada
10. Propiedades básicas de los principios de prima
11. Reducción de primas a través de la cooperación
12. Seguros con reembolso inferior a la prima
13. Seguros con deducible eximido
14. El efecto del deducible sobre la frecuencia de los reclamos
15. Ejercicios

Capítulo seis: Teoría de la ruina

1. Evento de ruina
   • Evento de ruina
   • Probabilidad de ruina antes del tiempo t
   • Probabilidad de ruina eventual
2. Modelo de tiempo discreto
   • Expresiones explícitas para la probabilidad de ruina
   • Coeficiente de ajuste para el modelo de tiempo discreto
   • Aproximaciones del coeficiente de ajuste
3. Modelo de tiempo continuo
   • Probabilidad de ruina eventual
   • Coeficiente de ajuste para el modelo de tiempo continuo
   • Determinación del coeficiente de ajuste
4. Sumas negativas de riesgo
5. La pérdida agregada máxima
6. Aproximaciones de la probabilidad de ruina eventual
   • Fórmula asintótica de Cramér
   • Aproximación de De Vylder
   • Aproximación de Tijms
7. Probabilidad de ruina en horizonte finito
8. Ejercicios

Capítulo siete: Transferencia del riesgo: reaseguro

1. Reaseguro y coaseguro
   • Definición de términos
2. Clases de contratos de reaseguro
   • Contratos de reaseguro de participación o proporcional
   • Contratos de reaseguro no-proporcionales
3. El reaseguro y la teoría de la utilidad
4. Efecto del reaseguro sobre la probabilidad de ruina
   • Reaseguro proporcional
   • Reaseguro de exceso de pérdida
5. Coaseguro
6. Ejercicios

Capítulo ocho
Selección de carteras
8.1. El modelo de media-varianza
8.2. Cartera constituida por 2 activos inciertos
8.2.1. Cartera con rentabilidad preestablecida
8.3. Formulación general de la teoría de carteras
8.4. Cartera con rentabilidad preestablecida
8.4.1. Otra forma de solución al problema de selección de cartera con rentabilidad prestablecida
8.5. Representación geométrica de la cartera mínima
8.6. Separación en dos fondos
8.7. La línea del mercado de capitales
8.8. Ejercicios

Capítulo nueve
Valor en riesgo
9.1. Conceptos básicos
9.2. Métodos no paramétricos o de simulación histórica
9.2.1. Ventajas del método
9.3. Métodos paramétricos
9.3.1. Método de simulaciones de Montecarlo
9.4. Aproximaciones para calcular el value at risk (VaR)
9.4.1. Método de varianza-covarianza
9.4.2. Aproximación del VaR mediante una distribución arbitraria
9.4.3. Aproximación Cornish-Fisher
9.4.4. Aproximación usando la distribución g − h de Tukey
9.4.5. Aproximación usando la distribución normal sesgada
9.4.6. Inconvenientes del VaR
9.5. Aproximaciones del VaR de una cartera
9.5.1. Método varianza-covarianza
9.5.2. Método delta-gamma
9.5.3. Aproximación Cornish-Fisher
9.6. Medidas coherentes de riesgo
9.7. Valor en riesgo condicional
9.7.1. Aproximación por Cornish-Fisher
9.7.2. Aproximación por la distribución g − h de Tukey
9.7.3. Aproximación por la distribución normal sesgada
9.8. Ejercicios

Capítulo diez
Riesgo de crédito
10.1. Medición del riesgo individual
10.1.1. Medidas de riesgo asociadas a una cartera crediticia
10.2. Sistemas de clasificación de créditos
10.2.1. Sistema colombiano
10.3. Métodos estadísticos para crear tablas de puntuación de crédito
10.3.1. Técnicas de separación
10.3.2. Análisis de discriminante: una forma de regresión lineal
10.3.3. Regresión logística
10.4. Medición del riesgo en carteras crediticias
10.4.1. Estimación estadística de probabilidades de incumplimiento
10.5. Modelos estructurales del riesgo crediticio
10.5.1. Modelo de valoración de Merton
10.6. Métodos de puntaje
10.6.1. Técnica Z-score de Altman
10.7. Ejercicios

Apéndice A
Nociones básicas de utilidad
A.1. Axiomas de preferencia

Apéndice B
Series de Taylor
B.1. Series de Taylor para funciones univariadas
B.1.1. Series de Taylor de funciones elementales
B.2. Serie hipergeométrica
B.2.1. Propiedades de la función hipergeométrica
B.2.2. Casos particulares
B.2.3. Función hipergeométrica confluente (función de Kummer)

Apéndice C
Métodos de estimación
C.1. Método de momentos
C.2. Método de máxima verosimilitud

Apéndice D
Transformada de Laplace
D.1. Transformada univariada de Laplace
D.1.1. Propiedades de la transformada de Laplace
D.2. Transformada inversa de Laplace
D.2.1. Propiedades de la transformada inversa de Laplace
D.3. Transformada bidimensional de Laplace

Apéndice E
Formas cuadráticas
E.1. Primeros momentos de formas cuadráticas de variables normales

Apéndice F
Códigos R
F.1. Ejemplo 2.2
F.2. Ejemplo 2.6
F.3. Ejemplo 3.2
F.4. Ejemplo 3.7
F.5. Ejemplo 3.11
F.6. Ejemplo 3.13
F.7. Ejemplo 8.2
F.8. Ejemplo 8.3
F.9. Ejemplo 8.4

Apéndice G
Tablas

Bibliografía

Índice