Introducción a la geometría euclídea

Presentación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

Prólogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Simbología. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

Capítulo 1. Elementos básicos de geometría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.2. Reseña histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.3. Definiciones iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.4. Postulados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

1.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1.6. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Capítulo 2. Congruencia de triángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.2. Criterios de congruencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.3. Construcciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.4. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.5. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Capítulo 3. Desigualdad triangular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77

3.1. Postulados de medida y construcción del ángulo . . . . . . . . . 79

3.2. Desigualdad triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.3. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Capítulo 4. Paralelismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.2. Rectas paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.3. Tres rectas en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.4. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

4.5. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

Capítulo 5. Cuadriláteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119

5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5.2. Polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

5.3. Cuadriláteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

5.4. Propiedades de los paralelogramos . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

5.5. Polígonos regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

5.6. Construcciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

5.7. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

5.8. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

Capítulo 6. Regiones poligonales y sus áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

6.2. Área de regiones poligonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

6.3. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

6.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

Capítulo 7. Círculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

7.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

7.2. Definiciones iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

7.3. Trazo de tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

7.4. Los ángulos y el círculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

7.5. Construcciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

7.6. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

7.7. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

Capítulo 8. Semejanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

8.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

8.2. Semejanza de triángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

8.3. Condiciones de semejanza de triángulos . . . . . . . . . . . . . . 210

8.4. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

8.5. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

Capítulo 9. Construcciones en la geometría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

9.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

9.2. Construcciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

9.3. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

Capítulo 10. Rectas y planos en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

10.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

10.2. Posición relativa entre una recta y un plano . . . . . . . . . . . . 242

10.3. Posición relativa entre dos planos . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

10.4. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

10.5. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

Capítulo 11. Paralelismo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .253

11.1. Paralelismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

11.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

11.3. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

Capítulo 12. Perpendicularidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

12.1. Recta perpendicular a un plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

12.2. Rectas perpendiculares y oblicuas a un plano . . . . . . . . . . . 277

12.3. Perpendicular común a dos rectas alabeadas . . . . . . . . . . . 280

12.4. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

12.5. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

Capítulo 13. Ángulos diedros y planos perpendiculares. . . . . . . . . .293

13.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

13.2. Definiciones iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

13.3. Proyecciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

13.4. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

13.5. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

Capítulo 14. Ángulos poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

14.1. Definiciones iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

14.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

14.3. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

Capítulo 15. Poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

15.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

15.2. Definiciones iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

15.3. Prismas y paralelepípedos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

15.4. Medidas en los cuerpos sólidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

15.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

15.6. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

Capítulo 16. Pirámides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

16.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

16.2. Pirámides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

16.3. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

16.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

Capítulo 17. Poliedros regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367

17.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

17.2. Caracterización de poliedros regulares . . . . . . . . . . . . . . . 370

17.3. Poliedros semirregulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371

17.4. Construcción de poliedros regulares . . . . . . . . . . . . . . . . 375

17.5. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381

Capítulo 18. Sólidos de revolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383

18.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385

18.2. Cilindros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386

18.3. Conos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390

18.4. Esferas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394

18.5. Posición relativa de rectas y planos con una esfera . . . . . . . . 396

18.6. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403

18.7. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413

Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415

Índice temático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417

Sobre los autores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423