Índice general i
Índice de figuras vi
Prefacio 1
Introducción 5
I La teoría básica 9
1 Los números reales 11
1.1 Preliminares: Números naturales y el principio de inducción 11
1.2 Conjuntos numerables y no numerables 14
1.3 Cuerpos y conjuntos ordenados 22
1.4 Los números reales 28
1.5 El principio de intervalos encajados 36
2 Espacios métricos y espacios normados 41
2.1 Métricas y normas 41
2.2 Conjuntos abiertos y cerrados 46
2.3 Interior y clausura 52
3 Compacidad y conexidad 61
3.1 Conjuntos compactos 61
3.2 El teorema de Heine-Borel 66
3.3 Conjuntos conexos 69
3.4 El conjunto de Cantor 71
4 Sucesiones 75
4.1 Sucesiones en espacios métricos 75
4.2 Cálculo de sucesiones en ℝ 78
4.3 Sucesiones de Cauchy 88
4.4 Subsucesiones 92
4.5 Límites superior e inferior 95
5 Series 101
5.1 Series numéricas 101
5.2 Criterios de convergencia 106
5.3 El número de Euler 111
5.4 Criterios de la raíz y del cociente 114
5.5 Criterios de Dirichlet y Leibniz 122
5.6 Reordenación de series y series múltiples 126
5.7 El teorema de Tannery 136
6 Aplicaciones continuas 141
6.1 Límites de aplicaciones 141
6.2 Aplicaciones continuas 146
6.3 Aplicaciones continuas definidas en compactos y en conexos 151
6.4 Aplicaciones uniformemente continuas 156
6.5 Límites laterales y discontinuidades de funciones reales 162
7 Funciones diferenciables 173
7.1 Derivada de funciones reales 173
7.2 Valores extremos y el teorema del valor medio 183
7.3 Comportamiento local y derivadas 190
7.4 El teorema de Darboux 197
7.5 La regla de L’Hôpital 199
7.6 El teorema de Taylor 203
8 La integral de Riemann 211
8.1 La definición de integral (Riemann y Darboux) 212
8.2 Propiedades generales de la integral 220
8.3 Teoremas fundamentales del cálculo 225
8.4 Derivación bajo el signo de integración 232
8.5 Caracterización de integrabilidad 235
8.6 Algunas aplicaciones de la integral 240
8.7 Integrales impropias 253
9 Sucesiones y series de funciones 265
9.1 Convergencia uniforme 265
9.2 Convergencia uniforme, continuidad y el M-test de Weierstrass 271
9.3 Convergencia uniforme, diferenciación e integración 276
9.4 El teorema de aproximación de Weierstrass 286
9.5 Regla de Leibniz para integrales impropias 292
9.6 Algunas funciones extrañas 297
II Proyectos 307
10 Números reales y complejos 309
10.1 Algunos números irracionales 309
10.2 Fracciones continuas simples 317
10.3 Extensión de algunos resultados al caso complejo 324
11 Criterios de convergencia de series 337
11.1 El segundo criterio del cociente 337
11.2 Los criterios de Kummer, Raabe y Jamet 342
11.3 El teorema de continuidad de Abel 350
12 Otros resultados sobre diferenciabilidad 357
12.1 Funciones convexas 357
12.2 La fórmula de Faà di Bruno 365
12.3 Sobre funciones suaves y el teorema de Borel-Peano 373
12.4 Diferenciabilidad del resto en la fórmula de Taylor 378
13 Resultados sobre teoría de funciones 387
13.1 Algunas identidades trigonométricas 388
13.2 Productos infinitos 402
13.3 La función Gamma 409
14 Sobre espacios de funciones 419
14.1 Espacios con producto interno 419
14.2 Longitud de curvas y funciones de variación acotada 424
14.3 El teorema de Stone-Weierstrass 435
Bibliografía 454
Índice alfabético 460
Índice onomástico 463
