Contents
Prefacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . xi
1 Spaces of functions on Rn. .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . 1
1.1 The space of test functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 The space of rapidly decreasing functions. . . . . . . . 4
1.3 The Fourier transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Continuous embeddings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Sobolev spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Spaces of functions on the n-dimensional torus . . . . . . . . . . . . . . . .9
2.1 Quotient spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 The n-dimensional torus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Function spaces on Tn and identifications . . . . . . . . . . . . 15
2.4 Lp(Tn, E) spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5 The space C∞(Tn, E) of test functions on the torus . . . . . . 25
3 Distributions on Tn and Zn . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1 Toroidal distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Tempered distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3 Toroidal Fourier transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.4 Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4 Toroidal Besov spaces . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.1 Resolution of unity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.2 Definition and properties of Bs pq(Tn, E) . . . . . . . . . . . . . 56
4.3 Lifting property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.4 Embeddings in Besov spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5 Interpolation of toroidal Besov spaces . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.1 Compatible spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.2 The K-functional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.3 Real interpolation space and properties . . . . . . . . . . . . . 84
5.4 Real interpolation for the spaces Bs pq(Tn, E) . . . . . . . . . . 90
Bibliografy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
List of symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
