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Elementos de geometría euclidiana. Un enfoque axiomático

Elementos de geometría euclidiana. Un enfoque axiomático

Descripción›

Ante la dificultad que ofrece inicialmente el abordaje de la geometría euclidiana como una teoría axiomática, muchas veces se opta por renunciar a esta forma de presentación, reduciendo los cursos a una exposición expedita de los axiomas y a un listado de los teoremas centrales, en la búsqueda de obtener resultados rápidos que permitan llegar prontamente a la solución de problemas. Sin embargo, de este modo se deja de proveer al estudiante de las herramientas suficientes para poder acceder al estudio de la teoría, a la comprensión de las argumentaciones y a la obtención satisfactoria de aprendizajes realmente significativos. En este texto sobre Elementos de geometría euclidiana se parte de que es posible hacer un desarrollo axiomático de esta disciplina en los cursos de los primeros niveles en los programas de orientación universitaria, asumiendo como elementos dinamizadores permanentes el razonamiento lógico y la utilización de términos y relaciones precisos (lenguaje matemático), con lo cual se potencian en el estudiante todas las competencias que apuntan a la consolidación de un pensamiento formal, y a la vez se fortalece la habilidad no solo en la resolución de problemas, sino también en su formulación, en múltiples aplicaciones y en diversos campos. Los contenidos, las orientaciones metodológicas y las consideraciones sobre la argumentación y la demostración plasmadas en este libro corresponden a las reflexiones recogidas por la autor durante sus años de estudio y ejercicio como profesor de geometría tanto euclidiana como vectorial y como asesor de maestros en el área de enseñanza de las matemáticas.

Tipo de Contenido›
Prólogo 
 
Introducción 
La argumentación en la enseñanza de la geometría euclidiana 
 
Capítulo 1. 

Elementos básicos del cálculo proposicional y cuantificacional 

Introducción 

Objetivos específicos 
 
1.1 Teoría axiomática o deductiva 
 
1.2 Elementos básicos del cálculo proposicional 
 
1.2.1 Simbolización de proposiciones 
 
1.2.2 Tablas de verdad 

1.3 La implicación lógica 

1.3.1 Definición. El condicional 
 
1.3.2 Definición. La implicación lógica 

1.3.3 Definición. El bicondicional 

1.3.4 Definición. Equivalencia lógica 

1.3.5 Definición. Implicaciones asociadas 

1.3.6 Equivalencias lógicas fundamentales en el cálculo proposicional, el cálculo cuantificacional y la teoría de conjuntos 

1.4 La demostración 

1.4.1 El proceso demostrativo 

1.4.2 Reglas de inferencia 

1.5 Métodos de demostración 

1.5.1 Método directo o de la hipótesis auxiliar 

1.5.2 Método del contrarrecíproco 
 
1.5.3 Método de demostración por contradicción o reducción al absurdo 
 
1.5.4 Método de casos o silogismo disyuntivo 

1.5.5 Método del contraejemplo
 
1.6 Ejercicios propuestos 

Capítulo 2. 

Axiomas de incidencia y axiomas de orden 
 
Introducción 
 
Objetivos específicos 

2.1 Elementos geométricos 

2.2 Grupo 1. Axiomas de incidencia 

2.3 Grupo 11. Axiomas de orden 
 
2.4 Ejercicios propuestos 
 
2.5 Ejercicios resueltos 
 
Capítulo 3. 

Axiomas de congruencia 

Introducción 
 
Objetivos específicos 

3.1 La relación de congruencia 

3.2 Grupo 111. Axiomas de congruencia 

3.3 Ejercicios propuestos 

3.4 Las relaciones mayor (respectivamente menor) en los segmentos y en los ángulos 
 
3.5 Ejercicios propuestos 
 
3.6 Ejercicios resueltos 
 
Capítulo 4. 

Axiomas de continuidad 

Introducción 

Objetivos específicos 

4.1 Los axiomas de continuidad 
 
4.2 Medición de segmentos 

4.3 Medida de ángulos 
 
4.4 Ejercicios propuestos 
 
4.5 Ejercicios resueltos 

Capítulo 5. 

La relación de paralelismo. Resultados previos al V Postulado de Euclides 
 
Introducción 

Objetivos específicos

5.1 La relación de paralelismo

5.2 Primer criterio de paralelismo. Teorema de los ángulos alternos internos (primera versión)   
5.3 Teorema del ángulo exterior (primera versión) 
 
5.4 Existencia única de la perpendicular a una recta, por un punto exterior a ella 
 
5.5 Existencia de la paralela a una recta, por un punto exterior a ella 
5.6 Cuarto caso general de congruencia de triángulos (L-A-A) 
5.7 La congruencia en los triángulos rectángulos 
5.8 Ejercicios propuestos 
5.9 Ejercicios resuelto

Capítulo 6. 

El V Postulado de Euclides y sus consecuencias 

Introducción 

Objetivos específicos 

6.1 V Postulado de Euclides (VPE) 

6.2 El postulado de la paralela única de Playfair 
 
6.3 Nota histórica 

6.4 Equivalencia entre el VPE y el postulado de Playfair 
 
6.5 Teorema recíproco del teorema de los ángulos alternos internos 
 
6.6 Congruencia de los segmentos opuestos, determinados por la intersección de dos paralelas con otras dos paralelas 

6.7 Suma de los ángulos interiores en un triángulo 

6.8 Teorema del ángulo exterior (segunda versión) 

6.9 Teorema de la paralela media en un triángulo 

6.10 Propiedades de los puntos notables de un triángulo 
6.11 Ejercicios propuestos 
6.12 Ejercicios resueltos   

Capítulo 7. 
Desigualdades en el triángulo 
Introducción 
Objetivos específicos 
7.1 Relaciones de lados versus ángulos en un mismo triángulo 
7.2 Relaciones de ángulos versus lados en un mismo triángulo   
7.3 Relaciones de perpendicular versus oblicuas   
7.4 Teorema de la desigualdad triangular 
7.5 Teorema de la bisagra (charnela) 
7.6 Teorema dual de la bisagra 
7.7 Ejercicios propuestos 
7.8 Ejercicios resueltos 

Capítulo 8. 

Poligonales y polígonos 
 
Introducción 
 
Objetivos específicos 

8.1 Poligonal 

8.2 Polígono simple 
 
8.3 Diagonal de un polígono 

8.4 Interior y exterior de un polígono 
 
8.5 Polígono convexo y polígono cóncavo 

8.6 Polígono regular 

8.7 Designación de algunos polígonos según el número de lados 
 
8.8 Número de diagonales de un polígono convexo 

8.9 Suma de los ángulos interiores de un polígono convexo de n lados 

8.10 Clasificación de los triángulos 
 
8.11 Cuadriláteros convexos especiales 

8.12 Propiedades por equivalencia del paralelogramo 

8.13 Propiedades por equivalencia del rectángulo 
 
8.14 Propiedades por equivalencia del rombo 

8.15 Propiedades del trapecio 

8.16 Ejercicios propuestos 

8.17 Ejercicios resueltos 
 
Capítulo 9. 

La circunferencia 

Introducción 

Objetivos específicos 

9.1 Nociones básicas 

9.2 Proposiciones fundamentales 

9.3 Posiciones relativas de una recta y una circunferencia coplanarias 

9.4 Posiciones relativas de dos circunferencias coplanarias 

9.5 Medida de arcos 

9.6 Arcos y cuerdas 
 
9.7 Arcos y ángulos 

9.8 polígonos convexos inscritos Y circunscritos en una circunferencia 

9.9 Ejercicios propuestos 
 
9.10 Ejercicios resueltos 
 
Capítulo 10. 

polígonos semejantes 

Introducción 

Objetivos específicos 
10.1 Nociones Y proposiciones fundamentales 
 
10.1.1 Propiedades básicas de las fracciones 

10.2 Semejanza entre polígonos 
 
10.3 Semejanza de triángulos 

10.4 Relaciones métricas en el triángulo rectángulo   
10.5 Relaciones métricas en triángulos no rectángulos 
10.6 Relaciones métricas en la circunferencia 
10.7 EjercicioS propuestos 
10.8 Ejercicios resueltos 
 
Capítulo 11. 

Áreas de figuras planas   
Introducción 
Objetivos específicos 
11.1 La función de área 
11.2 Áreas de los polígonos básicos   
11.3 Área de un polígono regular 

11.4 La cuadratura de un polígono convexo de n lados 

11.5 Longitud y área de la circunferencia. El número rt, Área de un sector circular 
11.6 Ejercicios propuestos 

11.7 Ejercicios resueltos 

Capítulo 12. 

Geometría del espacio 

Introducción 
 
Objetivos específicos 

12.1 Nociones básicas 

12.2 Clasificación de los poliedros convexos 

12.2.1 Prismas 

12.2.2 Pirámides 

12.3 La función de volumen 

12.4 Cuerpos redondos 

12.4.1 El cilindro 

12.4.2 El cono 

12.4.3 La esfera 

12.5 Ejercicios propuestos 
 
12.6 Ejercicios resueltos 

Capítulo 13. 

Construcciones y lugares geométricos 

Introducción 
 
Objetivos específicos 

13.1 Construcciones. Ejercicios resueltos 
 
13.2 Construcciones. Ejercicios propuestos 

13.3 Lugares geométricos. Ejercicios resueltos 
 
13.4 Lugares geométricos. Ejercicios propuestos 

Anexo 1. 

Sugerencias al profesor y al estudiante 

Sugerencias metodológicas sobre la evaluación 
 
Orientaciones metodológicas 
 
Anexo 2. 

Algunos modelos de geometrías no euclidianas 

1. Geometría no euclidiana hiperbólica 
 
1.1 Modelo de Klein 

1.2 Modelo de Poincaré 

2. Geometría no euclidiana elíptica 

Bibliografía 

Bibliografía electrónica
Clasificación temática›
Palabras clave›
  • Geometría euclidiana
  • Geometría plana
  • Axiomas
  • Geometría del espacio

Especificaciones por formato:

Impreso

  • ISBN-13: 9789587147957

  • Tamaño: 18.5 x 25 cm

  • Peso: 0.6800 kg

  • Año de publicación: 2018

  • Número absoluto de páginas: 404 páginas

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