Electromagnetismo computacional

Índice de figuras 5

Índice de tablas 8

1. Introducción 11

1.1. Unidades internacionales de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2. Electromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2. Modelo microscópico en forma vectorial-integral 14

2.1. Carga eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1.1. Ubicación espacial de partículas con carga eléctrica . . . . . . . . . . . . 14

2.1.2. El uso de la distancia en electromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2. Distribución de cargas eléctricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.1. Métodos numéricos para resolución de integrales . . . . . . . . . . . . . 21

2.2.2. Campo escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3. Fuerza electromagnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3.1. Campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3.2. Operadores vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3.3. Fuerza electrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.4. Campo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.4.1. Ubicación espacio temporal en un campo . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4.2. Intensidad de campo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.4.3. Proyecciones y vectores generadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.5. Potencial eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.5.1. Diferencia de potencial eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.5.2. Trayectoria de una partícula cargada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.5.3. Cálculo numérico de la integral de línea . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.6. Ley de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.6.1. Campo conservativo y potencial eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.6.2. Energía eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.6.3. Ley de conservación de energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.7. Corriente eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.7.1. Densidad de corriente de conducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.8. Campo magnetostático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.8.1. Ley de Gauss para el campo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.9. Fuerza magnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.9.1. Ley de corriente de Ampère e inductancia . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.9.2. Ley de fuerza de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.10. Campos eléctricos y magnéticos variables en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . 65

2.11. Modelo microscópico del electromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.12. Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.13. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.14. Proyectos de investigación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3. Modelo macroscópico en forma vectorial-integral 87

3.1. Parámetros constitutivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3.1.1. Medios simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3.2. Polarización eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.2.1. Permitividad eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3.2.2. Ecuación constitutiva para la polarización eléctrica . . . . . . . . . . . . 90

3.3. Conductividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.3.1. Resistividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.3.2. Ley de Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.3.3. Ecuación constitutiva para la corriente eléctrica . . . . . . . . . . . . . . 94

3.4. Magnetización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3.4.1. Permeabilidad magnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

3.4.2. Ecuación constitutiva para el campo magnético . . . . . . . . . . . . . . 97

3.5. Ecuaciones constitutivas del electromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3.5.1. Otros fenómenos electromagnéticos relacionados con materiales . . . . . 98

3.5.2. Resumen de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

3.6. Condiciones de frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3.7. Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.8. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.9. Proyectos de investigación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4. Modelo macroscópico en forma vectorial-diferencial 106

4.1. Solución analítica de las ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.1.1. La función de campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.1.2. Justificación del modelo diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.1.3. Formas diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.1.4. Teorema de divergencia y de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

4.2. Propiedades espaciales de los campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.2.1. Campos conservativos y función potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.2.2. Campos solenoidales y función potencial solenoidal . . . . . . . . . . . . 114

4.3. Teorema de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4.3.1. Teorema de unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4.4. Operadores diferenciales sobre el campo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

4.4.1. Divergencia del campo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

4.4.2. Campo densidad de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4.4.3. Rotacional del campo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4.5. Operadores diferenciales sobre el campo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . 119

4.5.1. Rotacional del campo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

4.5.2. Divergencia del campo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

4.6. Ecuaciones de Maxwell en forma diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4.6.1. Casos particulares de las ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . 124

4.6.2. Condición de ortogonalidad de los campos variables en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

4.6.3. Vector de Poynting y momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

4.6.4. Momento de radiación electromagnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4.7. Ecuaciones desacopladas de onda electromagnética . . . . . . . . . . . . . . . . 128

4.8. Ecuaciones de campo potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

4.8.1. Calibradores de Coulomb y de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

4.8.2. Invariantes a los calibradores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

4.9. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

4.10. Proyectos de investigación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

5. Soluciones de las ecuaciones de campo electromagnético 141

5.1. Caracterización de las ecuaciones de campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

5.1.1. Ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden . . . . . . . . . . . . 142

5.1.2. Condiciones iniciales y de frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

5.2. Solución de la ecuación de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

5.3. Solución a la ecuación de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

5.4. Solución de la ecuación de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

5.4.1. Solución armónica de la ecuación de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

5.4.2. Solución armónica de las ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . 169

5.4.3. Parámetros de la onda electromagnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

5.4.4. Solución armónica mediante el uso de potenciales . . . . . . . . . . . . . 173

5.4.5. Permitividad compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

5.5. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

5.6. Proyectos de investigación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

6. Métodos diferenciales para el cálculo de la solución de las ecuaciones electromagnéticas183

6.1. Método de diferencias finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

6.1.1. Solución para campos unidimensionales en el espacio libre . . . . . . . . 185

6.2. Método de elementos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

6.2.1. Geometría de elementos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

7. Métodos integrales para el cálculo de la solución de las ecuaciones electromagnéticas 194

7.1. Modelo integral de las ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

7.2. Aproximación por dipolo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

7.3. Método de momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

A. Fundamentos de álgebra vectorial 198

A.1. Representación por álgebra geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

A.1.1. Operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

A.1.2. Representación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

A.1.3. Descomposición Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

A.2. Representación tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

A.2.1. Producto tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

A.3. Álgebras de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

A.4. Función delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

B. Solución de ecuaciones diferenciales 205

B.1. Ecuaciones diferenciales de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

B.1.1. Ecuación lineal de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

B.1.2. Ecuación diferencial de Clairaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

B.2. Ecuación diferencial de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

B.3. Ecuaciones diferenciales de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

B.3.1. La solución armónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

B.4. Ecuaciones de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

C. Ecuaciones de campo en Coordenadas cilíndricas 212

D. Propiedades de operadores diferenciales 213

E. Rutinas de programación en Python 214

Referencias 216

Índice temático 219