Ejercicios de cálculo: límites, derivadas e integrales

1 Límites y continuidad................................ 13

1. 1.1  Límites......................... 13

2. 1.2  Límites unilaterales.................. 21

3. 1.3  Límites trigonométricos................ 25

4. 1.4  Límites infinitos.................... 27

5. 1.5  Límites  al infinito................... 29

6. 1.6  Asíntotas ....................... 35

7. 1.7  Continuidad...................... 41

                    1.7.1 Teorema del valor máximo . . . . . . . . . . 48

                    1.7.2 Teorema del valor intermedio . . . . . . . . 49

2 Derivadas y aplicaciones ............................. 57

1. 2.1  Derivación por definición............... 57

2. 2.2  Derivación por fórmula................ 63

   1. 2.2.1  Derivadas inmediatas............. 66

   2. 2.2.2  Derivadas de sumas.............. 67

   3. 2.2.3  Derivadas de productos............ 70

   4. 2.2.4  Derivadas de cocientes ............ 73

   5. 2.2.5  Regla de la cadena .............. 77

3. 2.3  Derivadas de logaritmos ............... 83 9

4. 2.4  Derivación logarítmica ................ 86

5. 2.5  Derivadas de orden superior ............. 89

6. 2.6  Derivadas puntuales ................. 91

7. 2.7  Derivación implícita.................. 91

8. 2.8  Derivación implícita de orden superior . . . . . . . 94

9. 2.9  Rectas tangente y normal .............. 97

10. 2.10  Tangentes verticales y horizontales . . . . . . . . . 99

11. 2.11  Problemas de velocidad y aceleración . . . . . . . . 102

            2.12 Razones relacionadas................. 106

            2.13 Criterio de la primera derivada . . . . . . . . . . . 109

            2.14 Segunda derivada y concavidad . . . . . . . . . . . 115

            2.15 Criterio de la segunda derivada . . . . . . . . . . . 122

            2.16 Construcción de gráficas ............... 124

            2.17 Extremos en un intervalo............... 152

            2.18 Teorema de Rolle ................... 158

            2.19 Teorema del Valor Medio............... 160

            2.20 Problemas de máximos y mínimos. . . . . . . . . . 163

            2.21Diferenciales...................... 171

            2.22 Regla de L'Hopital .................. 177

            2.23 Sucesiones....................... 182

            2.24 Derivación numérica ................. 188

3 Integral indefinida .................................... 189

1. 3.1  Integrales inmediatas................. 191

2. 3.2  Integración por sustitución.............. 196

3. 3.3  Integración por partes ................ 203

4. 3.4  Integración de trigonométricas . . . . . . . . . .

5. 3.5  Trigonométricas inversas e integración . . . . .

6. 3.6  Integración por sustitución trigonométricas . . .

7. 3.7  Integración de funciones racionales . . . . . . .

                    3.7.1 Separación en fracciones parciales . . . .

                    3.7.2 Integració n por fracciones parciales . . .

                    3.8 Integrando funciones racionales de sen μ y cos μ

4 Integral definida y aplicaciones...................... 259

1. 4.1  Notación sigma .................... 259

2. 4.2  Area y sumas aproximantes ............. 265

3. 4.3  Integraldefinida.................... 267

   1. 4.3.1  Integrales inmediatas............. 268

   2. 4.3.2  Usando sustitución .............. 270

3. 4.3.3  Usando el método de partes . . . .

4. 4.3.4  Usando trigonométricas inversas . .

5. 4.3.5  Usando potencias trigonométricas

6. 4.3.6  Usando sustitución trigonométrica .

7. 4.3.7  Usando fracciones parciales . . . .

8. 4.3.8  Usando z=tan ............. 280

9. 4.3.9  Integrales definidas con valor absoluto . . . 281

4.3.10 Problemas misceláneos ............ 283

4. 4.4  Teorema del valor medio para integrales . . . . . . 284

5. 4.5  Segundo teorema fundamental del cálculo . . . . . . 288

6. 4.6  Area entre curvas................... 290

7. 4.7  Sólidos de revolución ................. 297

8. 4.8  Integrales impropias ................. 302

9. 4.9  Integración numérica ................. 309

   
   

5 Introducción a ecuaciones diferenciales............. 315

1. 5.1  Conceptos fundamentales............... 315

2. 5.2  Ecuaciones diferenciales separables . . . . . . . . . 320

3. 5.3  Ecuaciones diferenciales homogéneas . . . . . . . . 322

4. 5.4  Derivadas parciales y diferenciales totales . . . . . . 325

5. 5.5  Integración parcial .................. 328

6. 5.6  Ecuaciones diferenciales exactas . . . . . . . . . . . 329

7. 5.7  Ecuaciones diferenciales hechas exactas . . . . . . . 334

8. 5.8  Ecuaciones diferenciales lineales de orden 1 . . . . . 338

9. 5.9  Ecuaciones de orden superior fáciles . . . . . . . . . 339

10. 5.10  Ecuaciones diferenciales misceláneas . . . . . . . . . 341

11. 5.11  Ecuaciones lineales de orden superior . . . . . . . . 344

6 Modelos de exámenes ................................ 345

    6.1 Primer examen parcial:UCR-1 ........... 345

    6.1.1 Solución del primer examen parcial: UCR-1 347

2. 6.2  Primer examen parcial:UCR-2 ........... 352

3. 6.3  Primer examen parcial:ITCR............ 354

4. 6.4  Primer examen parcial:UIA............. 355

5. 6.5  Segundo examen parcial: UCR-1 . . . . . . . . . . 356

   6.5.1 Solución del segundo examen parcial: UCR-1 358

6. 6.6  Segundo examen parcial: UCR-2 . . . . . . . . . . 363

7. 6.7  Segundo examen parcial:ITCR ........... 365

8. 6.8  Segundo examen parcial:UIA ............ 367

9. 6.9  Tercer examen parcial: UCR-1. . . . . . . . . . . . 368

                    6.9.1 Solución del tercer examen parcial: UCR-1 . 369

            6.10 Tercer examen parcial: UCR-2. . . . . . . . . . . . 372

            6.11 Tercer examen parcial:ITCR ............ 374

            6.12 Tercer examen parcial:UIA ............. 375

            6.13 Examen último chance: UCR-1 . . . . . . . . . . 376

                6.13.1 Solución del examen último chance: UCR-1 377

            6.14 Examen último chance: UCR-2 . . . . . . . . . . 384

            6.15 Examen último chance": ITCR. . . . . . . . . . . 385