Corrientes del pensamiento matemático del siglo XX. Primera parte: fundamentación

Prólogo
Introducción

Primera parte.
Los programas logicista, intuicionista y formalista

Capítulo I.
Antecedentes

1.1 Esbozo de la problemática
1.1.1 Consecuencias de las geometrías no euclidianas
1.1.2 Otros aspectos del ambiente matemático del siglo XIX

1.2 La aritmetización de la matemática
1.2.1 El rigor en el análisis
1.2.2 Fundamentación de los números reales
1.2.3 La verdad de la aritmética
1.2.4 Las cortaduras de Dedekind
1.2.5 Otros tratamientos de los irracionales
1.2.6 La aritmetización de la matemática

1.3 Antecedentes en el desarrollo de la lógica
1.3.1 Leibniz
1.3.2 Leibniz y la lógica tradicional
1.3.3 Ars combinatoria
1.3.4 Characteristica universalis o lengua filosófica
1.3.5 La enciclopedia
1.3.6 Una ciencia general del método
1.3.7 La nueva visión de la lógica en Leibniz
1.3.8 Boole
1.3.9 Impacto de la lógica simbólica de Boole
1.3.10 La lógica de relaciones de De Morgan y Peirce
1.3.11 Otros desarrollos de la lógica
1.3.12 La teoría de conjuntos

Capítulo II.
El pensamiento de Gottlob Frege

2.1 La Begriffsschrift
2.1.1 El cálculo proposicional
2.1.2 El esquema argumento-función
2.1.3 La teoría de la cuantificación
2.1.4 Lingua philosophica
2.1.5 Bases para derivar la aritmética de la lógica
2.1.6 Las implicaciones de la Begriffsschrift de Frege

2.2 La filosofía de la matemática de Frege
2.2.1 Frege y el empirismo de Iohn Stuart Mill
2.2.2 Frege y el intuicionismo kantiano
2.2.3 Frege y la definición creativa
2.2.4 Frege y el formalismo
2.3 La teoría aritmética de Frege
2.4 Russell se comunica con Frege

Capítulo III.
La escuela logicista de fIlosofía de la matemática

3.1 La escuela logicista
3.2 La construcción logicista de la matemática
3.2.1 La transición de la lógica a la teoría de conjuntos

3.3 Producto cartesiano, relación y relación de equivalencia
3.3.1 Producto cartesiano y relación
3.3.2 Producto cartesiano
3.3.3 Relación
3.3.4 Relaciones de equivalencia

3.4 La definición de número natural
3.4.1 La relación 'ser similar a'
3.4.2 Las insuficiencias del tratamiento formalista; la axiomatización de Peano
3.4.3 La definición de número
3.4.4 Operaciones con números naturales

3.5 Números enteros, definición y operaciones
3.5.1 Definición de las operaciones entre números enteros
3.5.2 Multiplicación de números enteros

3.6 Los números racionales
3.6.1 Adición de números racionales
3.6.2 Multiplicación de números racionales
3.6.3 Números racionales positivos y negativos

3.7 Relaciones de orden
3.7.1 Relaciones de orden
3.8 Relación de orden entre números
3.8.1 Orden entre números naturales
3.8.2 Orden en los números enteros
3.8.3 Orden en los números racionales

3.9 Números reales
3.9.1 Las cortaduras de Dedekind
3.9.2 El tratamiento logicista
3.10 Conjuntos y números infinitos

3.11 Números complejos y algebraicos
3.11.1 Construcción del conjunto de los números complejos
3.11.2 Números algebraicos y trascendentes
3.12 Relaciones funcionales y operaciones
3.12.1 Relación funcional o función
3.12.2 Operaciones
3.12.3 Relaciones más generales

Capítulo IV.
Fallas en el programa logicista de Russell

4.1 Deficiencias en el programa logicista
4.1.1 El axioma de infinitud
4.2 El axioma de elección

4.3 Antinomias de la teoría de conjuntos y temas afines
4.3.1 Antinomias de la teoría de conjuntos
4.3.2 Paradojas lógicas de auto referencia
4.3.3 Paradojas cuasimatemáticas
4.3.4 Paradojas semánticas
 
4.3.5 La definición impredicativa

4.4 La teoría de los tipos lógicos
4.4.1 El principio del círculo vicioso
4.4.2 La teoría de los tipos lógicos
4.4.3 La teoría ramificada de los tipos lógicos
4.4.4 El axioma de reductibilidad
4.4.5 Retorno a las definiciones impredicativas

Capítulo V.
La filosofía intuicionista de la matemática

5.1 Filosofía intuicionista
5.1.1 Objeciones intuicionistas a la matemática clásica
5.2 Matemática intuicionista
5.2.1 Construcción intuicionista de los números reales; versión intuicionista de una teoría de conjuntos
5.3 Lógica intuicionista

Capítulo VI.
La escuela formalista de filosofía de la matemática

6.1 La escuela formalista
6.1.1 El formalismo antes de las antinomias de la teoría de conjuntos
6.1.2 El camino recorrido por Hilbert

6.2 El formalismo después de las antinomias de la teoría de clases
6.3 La metamatemática
6.3.1 Evaluación de los Intuicionistas del programa propuesto por Hilbert
6.4 Un sistema formal

6.5 Sobre sistemas formales
6.5.1 Otras descripciones de sistema formal
6.6 Una demostración de consistencia absoluta

Capítulo VII.
De Poincaré a Godel y Turing

7.1 Poincaré contesta allogicismo
7.1.1 La intervención ineludible de la intuición
7.1.2 La cuestión de la inducción matemática
7.1.3 Otras objeciones a la obra logicista

7.2 Confrontación y balances
7.2.1 Los puntos de partida y los criterios de existencia
7.2.2 Ordinalidad y cardinalidad
7.2.3 El infinito
7.2.4 La intuición
7.2.5 La lógica
7.2.6 La relación entre la lógica y la matemática
7.2.7 Las aplicaciones de la matemática
7.2.8 Los protagonistas hablan de sus diferencias y semejanzas

7.3 Los teoremas de Godel
7.3.1 Antecedentes del teorema
7.3.2 La noción de isomorfismo
7.3.3 La lógica de Godel
7.3.4 La demostración de Godel
7.3.5 Consecuencias e implicaciones

7.4 El problema de decisión y las máquinas de Turing
7.4.1 Demostraciones de consistencia, nuevas paradojas
7.4.2 Sistemas axiomáticos
7.4.3 El problema de decisión
7.4.4 Máquinas de Turing

Bibliografía