Cálculo avanzado

CONTENIDO

I Curvas planas y del espacio 11

1. Funciones vectoriales 15

1.1. El espacio Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2. Funciones vectoriales en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2.1. Operaciones algebraicas. . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2.2. Límites, derivadas e integrales. . . . . . . . . . . . . 18

1.3. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2. Curvas parametrizadas y longitud de arco 23

2.1. Curvas y parametrizaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2. Tangente a una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2.1. Interpretación física de las curvas y sus tangentes . . 25

2.2.2. Triedro de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2.3. El vector aceleración. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3. Longitud de arco y reparametrización de una curva. . . . . . 28

2.4. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3. Curvatura 33

3.1. Curvatura de curvas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2. *Ecuaciones de Frenet para una curva plana. . . . . . . . . 36

3.3. Problemas Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Problemas y actividades 41

Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Preguntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Actividades especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

II Cálculo diferencial para funciones de dos y tres variables

57

4. Funciones de varias variables 61

4.1. Definiciones iniciales y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.2. Gráfica de z = f(x; y). Curvas y superficies de nivel. . . . . 61

4.3. Superficies cuádricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.4. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5. Límites y continuidad 69

5.1. Límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.2. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.3. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6. Derivadas parciales y el plano tangente 73

6.1. Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6.2. Superficies parametrizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6.3. El plano tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6.4. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

7. Funciones diferenciables 81

7.1. El concepto de diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . 81

7.2. La regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

7.3. El vector gradiente de una función diferenciable . . . . . . . 88

7.4. Derivadas direccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

7.5. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

8. Máximos y mínimos. 97

8.1. Extremos de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

8.2. Criterio para determinar extremos de funciones de dos variables 99

8.3. Extremos condicionados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

8.4. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Problemas y actividades 115

Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

Preguntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

9. Campos vectoriales, Divergencia, Rotacional y Laplaciano 131

9.1. Campos Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

9.2. Divergencia y rotacional de campos vectoriales . . . . . . . 134

9.3. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

III Integrales de Línea, Integrales dobles y triples 141

10.Integrales de línea 145

10.1. Definición de integral de línea . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

10.2. Propiedades de las integrales de línea . . . . . . . . . . . . . 148

10.3. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

11.Integrales dobles 153

11.1. Volumen bajo la gráfica de z = f(x; y) . . . . . . . . . . . . 153

11.2. Definición de integral doble . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

11.3. Propiedades de la integral doble . . . . . . . . . . . . . . . . 159

11.4. Integración en regiones más generales . . . . . . . . . . . . . 160

11.5. Cálculo de integrales dobles: áreas y volúmenes. . . . . . . . 162

11.6. Cambio de variables en integrales dobles . . . . . . . . . . . 165

11.6.1. Transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . 167

11.6.2. Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

11.6.3. La fórmula del cambio de variable . . . . . . . . . . 169

11.6.4. *Demostración de la fórmula del cambio de variable 171

11.7. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

12.Integrales triples 179

12.1. Definición de integral triple . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

12.2. Regiones más generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

12.3. Cambio de variables en integrales triples. . . . . . . . . . . . 186

12.3.1. Coordenadas cilíndricas. . . . . . . . . . . . . . . . . 186

12.3.2. Coordenadas esféricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

12.4. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

13.Aplicaciones de las integrales múltiples. 197

13.1. Momentos y centros de masa. . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

13.2. Densidad y masa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

13.3. Momento de inercia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

13.4. Probabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

13.5. Valores esperados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

13.6. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

Problemas y actividades 207

Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

Preguntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

IV Teoremas Fundamentales del Cálculo Avanzado 213

14.Teorema de Green 215

15.Campos vectoriales conservativos 221

15.1. Funciones potenciales e independencia del camino . . . . . . 221

15.2. Condiciones para que un campo sea conservativo. . . . . . . 223

15.3. Método para hallar funciones potenciales. . . . . . . . . . . 225

15.4. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

16.Integrales de superficie 229

16.1. Área de una superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

16.2. Integral de superficie de un campo escalar . . . . . . . . . . 232

16.3. Integral de superficie de un campo vectorial . . . . . . . . . 232

16.4. Teoremas de Stokes y Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

16.5. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

Problemas y actividades 241

Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

Preguntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

Apéndices 247

A. Exámenes parciales y finales realizados 251

A.1. Examen parcial 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

A.2. Examen parcial 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

A.3. Examen parcial 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

A.4. Examen parcial 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

A.5. Examen final 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

A.6. Examen final 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

A.7. Examen final 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

A.8. Examen final 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

A.9. Examen final 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

B. Cálculo diferencial en Rn 267

B.1. Campos escalares y campos vectoriales en Rn . . . . . . . . 267

B.2. Derivada en una dirección de un campo escalar en Rn. Derivadas

direccionales y parciales. . . . . . . . . . . . . . . . . 269

B.3. Diferenciabilidad de un campo escalar en Rn. . . . . . . . . 270

B.4. Regla de la cadena para campos escalares en Rn. . . . . . . 273

B.5. Derivada en una dirección de un campo vectorial. Derivada

direccional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

B.6. Diferenciabilidad de un campo vectorial . . . . . . . . . . . 276

B.7. Regla de la cadena para campos vectoriales. . . . . . . . . . 278

B.8. Fórmula de Taylor de orden dos para campos escalares . . . 280

B.9. Naturaleza de un punto crítico teniendo como criterio los

valores propios de la matriz Hessiana . . . . . . . . . . . . . 282

B.10.Criterio para determinar extremos de funciones de dos variables284

B.11.Ley de la conservación de la energía. Campos conservativos 284