Agradecimientos ix
Prefacio xi
Introducción xv
Una guía a través del universo xv
Los Wild Sixties en teoría de conjuntos xvi
Nuestro camino – ¿Cómo usar el libro? xvii
Capítulo uno. Las bases: marco general 1
1.1. Aperitivo: Cantor y Suslin 3
1.1.1. Caracterizar el continuo 3
1.2. Axiomas de la teoría de conjuntos 4
1.2.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel 5
1.3. Teoría de conjuntos bajo ¬CH 6
1.4. Hacia el Axioma de Martin 7
1.5. Problemas con el método 9
1.5.1. El camino para construir modelos de ZF 10
1.6. Modelos bien fundamentados 10
1.6.1. La inevitabilidad del Axioma de Fundamentación 11
1.6.2. Ordinales 12
1.6.3. Más sobre Reemplazo y Fundamentación 13
1.6.4. La definición de WF en ZF− 14
1.6.5. Digresión: rangos y currículos bien fundamentados 15
1.6.6. Coda: fundamentación en teoría de conjuntos 16
1.6.7. Consideraciones antes del verdadero inicio 18
Capítulo dos. El universo V de los conjuntos 19
2.1. Jerarquía de von Neumann: analizar WF 21
2.1.1. Propiedades generales de WF 22
2.2. Forma y tamaño de los modelos Vα y Hχ 25
2.2.1. Cardinal de los niveles – el rol del Axioma de Elección 25
2.3. Cuando κ es inaccesible, Vκ ⊨ ZFC 27
2.4. Modelos transitivos 29
2.4.1. Extensionalidad y Fundamentación 29
2.4.2. El caso de Comprensión 30
2.4.3. Digresión: Gödel y el Axioma de Comprensión 30
2.4.4. Pares, Uniones, Reemplazo, Infinito, Partes 31
2.5. El Axioma de Elección 35
2.5.1. Síntesis: qué axiomas valen en Vα o Hχ 37
Capítulo tres. El universo construible: Gödel 39
3.1. Construir lo constructible 42
3.1.1. Extender un buen orden ◁ de A a D(A) 45
3.2. La estructura gruesa de L 46
3.3. ¿Por qué lógica de primer orden? 48
3.4. Estructura fina de L 49
3.5. El plan de la prueba de Gödel 50
3.6. ¿Por qué no es trivial la prueba de L ⊨ Compr? 52
3.7. Löwenheim-Skolem y Reflexión 53
3.7.1. Tarski-Vaught 54
3.7.2. Versión jerarquía para conjuntos 56
3.7.3. Versión jerarquía para clases 57
3.8. El colapso de Mostowski 59
3.9. Completamos la demostración de Gödel 62
Capítulo cuatro. Maximalidad: el Axioma de Martin 65
4.1. MA: un principio de maximalidad 67
4.1.1. El rol de la ccc 70
4.2. Amibas: atrapar medida pequeña 72
4.3. Aritmética cardinal bajo MA 75
4.4. Δ-sistemas y preservación de ccc 76
Capítulo cinco. Cohen: modelos genéricos 81
5.1. El forcing de Cohen 83
5.1.1. Sobre ccc y preservación de cardinales 86
5.2. Extensiones genéricas 88
5.2.1. Qué es entonces M[G] 89
5.3. Operaciones conjuntísticas y M[G] 89
5.3.1. Clausura bajo pares y uniones 92
5.3.2. Lemas de Definibilidad y Verdad 93
5.4. Axioma de Elección en M[G] 95
5.5. Preservación de cardinales y ccc 96
5.5.1. Modelos con inaccesibles 99
5.6. El caso de Partes 99
Capítulo seis. Reales: Cohen, aleatorios, Solovay 103
6.1. Agregar reales 105
6.1.1. Reales de Cohen 106
6.1.2. Reales aleatorios 106
6.2. El modelo de Solovay 110
6.2.1. El colapso de Lévy 111
6.2.2. Construcción de Solovay 111
6.2.3. Otros usos 112
Capítulo siete. Métodos modelo-teóricos, PFA 113
7.1. Proper forcing 116
7.2. Coloraciones y uniformización 118
7.3. El axioma PFA 120
7.4. ℵ1-densidad 121
Capítulo ocho. Forcing iterado: MA, Prikry, etc. 123
8.1. Forcing iterado 125
8.1.1. Definición 125
8.1.2. Preservación de ccc 127
8.2. Forcing de Easton 128
8.3. SCH 129
8.4. Forcing de Prikry 131
Capítulo nueve. Impacto en teoría de modelos 133
9.1. Interacciones complejas 135
9.2. Conjetura de Łoś 137
9.2.1. Categoricidad 137
9.2.2. Conjetura de Shelah 138
9.2.3. Tipos de Galois 140
9.2.4. Cronología 141
9.3. Cardinales fuertemente compactos 141
9.3.1. Localización de tipos 141
9.3.2. Docilidad 142
9.4. MAℵ1 y teoría de modelos 146
9.5. Teoría de modelos de la teoría de conjuntos 150
Capítulo diez. Continuar el camino 153
10.1. Continuación inmediata 155
10.2. Teoría descriptiva de conjuntos 157
10.3. Modelos internos 157
10.4. Grandes cardinales 158
10.5. Cuestiones filosóficas 159
Capítulo once. Ejercicios y problemas 163
Apéndice A. Recursión transfinita 173
Apéndice B. Absoluticidad 183
Apéndice C. Demostraciones de LD y LV 193
Apéndice D. Grandes cardinales 199
Índice 207
Referencias 209
